モンテカルロ法で円周率πを求める
正方形にランダムな点を打ち、円の中に入った割合を4倍すると、円周率 π＝3.14159… が求められます。
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点をふらせる
「おそい」にして「1こ」を何回か押すと、点が1つずつ落ちる様子を観察できます。
今の推定値
本当の π ＝ 3.14159265…
点の数と推定値の収束グラフ
よこ軸は点の数（10倍ずつ）、たて軸は π の推定値。点を増やすほど、線が本当の π（点線）に近づいていきます。
自由研究のまとめ表
点の数が増えるたびに、自動で記録されます。| 点の数 | 円の中の数 | π の推定値 | π との差（誤差） |
|---|---|---|---|
| 100こ | — | — | — |
| 1000こ | — | — | — |
| 1万こ | — | — | — |
| 10万こ | — | — | — |
まとめ方のヒント
- 点の数を 100 → 1000 → 1万 → 10万 と増やして、そのたびに「π との差（誤差）」をこの表に書き写そう。
- 点を増やすほど、誤差はどう変わったかな？ 「点を10倍にすると誤差はだいたい〇分の1くらいになった」のように、気づいたことを言葉でまとめよう。
- 点はランダムなので、同じ「1万こ」でも押すたびに答えが少し違います。何回か試して、一番近かった値・遠かった値も記録すると、よい研究になります。
- 収束グラフを画面ごとスクリーンショットして、まとめ用紙にはると分かりやすいよ。
モンテカルロ法で円周率が求まるしくみ
1辺の長さが1の正方形を考えます。この正方形の面積は 1×1＝1 です。 その中に、半径1の円の4分の1（4分の1円）をぴったり入れると、その面積は π×1×1÷4 ＝ π÷4 になります。
正方形の中にランダムに点をたくさん打つと、点は場所にかたよりなく散らばります。 すると「円の中に入った点の割合」は、面積の割合 （π÷4）÷ 1 ＝ π÷4 に近づいていきます。 だから、円の中に入った割合を 4倍 すれば、π が求められるのです。
1個ずつの点がどこに落ちるかは予想できませんが、点をたくさん集めると決まった値に近づきます。 このように「ランダムな試行を繰り返して答えの見当をつける方法」を、モンテカルロ法と呼びます。
📖 使い方・くわしい説明
使い方
- 「ずっとふらせる」を押すと、ランダムな点がどんどん降ってきます。もう一度押すと止まります。
- 速さ（おそい／ふつう／はやい）で、点の降るスピードを変えられます。
- 「1こ」「100こ」「1000こ」「1万こ」のボタンで、その数だけ点を追加できます。
- 「10万こ 一気に！」を押すと、たくさんの点を一度に打って、π にぐっと近づく様子が見られます。
- 「最初から」で点を全部消して、最初からやり直せます。
観察のポイント
点が少ないうちは、推定値は 2.8 や 3.4 のように大きくふらつきます。 ところが点を1万個・10万個と増やしていくと、推定値はだんだん 3.14159… に近づき、収束グラフの線も平らになっていきます。 「偶然の積み重ねから、決まった値（円周率）が現れる」のがモンテカルロ法のおもしろいところです。
もっとくわしく
モンテカルロ法は、答えを直接計算するのが難しい問題を、コンピュータでたくさんの乱数を使って解くための方法です。 円周率のほかにも、複雑な図形の面積、確率の見積もり、物理や金融のシミュレーションなど、はば広く使われています。 点の数を N 個にしたとき、誤差はおおよそ「N の平方根に反比例」して小さくなることが知られています （点を100倍にすると、誤差はおよそ10分の1になります）。
よくある質問
- なぜ円の中の割合を4倍すると円周率になるのですか？
- 1辺の長さが1の正方形の面積は 1×1＝1 です。その中にすっぽり入る半径1の4分の1円の面積は πr²÷4 ＝ π÷4 になります。正方形にまんべんなくランダムに点を打つと、円の中に入る点の割合は「4分の1円の面積 ÷ 正方形の面積」＝ π÷4 に近づきます。だから、円の中に入った割合を4倍すると π が求められるのです。
- 点を増やしたのに、前より π から遠ざかることがあります。間違いですか？
- 間違いではありません。点は毎回ランダムに打つので、結果は少しずつばらつきます。点が少ないうちは上がったり下がったりしますが、点を増やしていくと全体としてだんだん π＝3.14159… に近づいていきます。これを「大数（たいすう）の法則」といいます。1回の結果ではなく、点を増やしたときの流れ（収束グラフ）を見るのがコツです。
- モンテカルロ法とは何ですか？
- たくさんのランダムな試行を使って、答えの見当をつける計算方法のことです。名前はカジノで有名なモナコの「モンテカルロ」から付けられました。円周率のほかにも、複雑な面積や確率の計算、気象や物理のシミュレーションなど、答えを直接計算するのが難しい問題を数多く解くのに使われています。
- 授業や自由研究で使ってもいいですか？
- はい、ご自由にお使いください。学校の授業、塾、家庭学習、自由研究などでの利用を歓迎します。インストール不要で、ブラウザだけで動きます。すべての計算はあなたの端末の中だけで行われ、外部には何も送信しません。