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学習・あそび

遊び方と説明

ゴルトンボード

本体をひっくり返すと、玉がザーッと流れ落ちて「山」ができます。つかんで回したり、傾けたりしてみよう。机の上の小物も、さわったり動かしたりできます。部屋のあちこちに、ちょっとしたしかけもあります。

この回の山

流し終わると、山のできばえがここに出ます。

真ん中に多く積もるのはなぜ？

玉は釘に当たるたびに、左か右へ半々の確率で進みます。 真ん中のビンへ行く道すじは「左右まぜこぜ」の組み合わせがたくさんあるけれど、 はしのビンへ行くには「全部左」のように偶然がそろい続けないといけません。 だから、真ん中にはたくさん積もり、はしにはめったに入りません。

統計情報

ビンの玉0
平均（ビン番号）-
標準偏差-
曲線との重なり-

ボードの傾き: 0°

表示

背板の赤い曲線は、このボードで300粒を流したときの目安です。青い点線は、いまビンに入っている玉の平均と標準偏差から描いた曲線です。

ボードを左右に少し傾けて流すと、平均がずれていきます。矢印キー（←→）でも5°ずつ傾けられます。

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    ゴルトンボードとは？

    ゴルトンボード（ビーンマシン）は、統計学者フランシス・ゴルトンが考案した装置です。 玉は釘に当たるたびにほぼ半々の確率で左右へ分かれ、1粒ずつの行き先はまったく予測できないのに、 たくさん集まると決まって正規分布（ガウス分布）の山になります。 このページのボードは、卓上の砂時計型ゴルトンボードと同じつくりです。上の溜まりから首を通って玉が流れ落ち、 ひっくり返すと、玉は釘の間を逆向きに通って溜まりへ戻ります。

    使い方

    遊び方

    • ひっくり返す：ボタンを押すか、本体をつかんでぐるっと回します。玉が上の溜まりにある向きにすると、ザーッと流れ落ちて山ができます。もう一度ひっくり返すと、玉は釘の間を通って溜まりへ戻ります。
    • 視点を動かす：本体の外側を横にドラッグすると、まわりこんで横から見られます。トラックパッドのピンチ、Ctrl（⌘）＋ホイール、スマホの2本指で寄ると、釘の間で玉がはじかれる様子が見えます。背景をダブルクリック（ダブルタップ）すると元の視点に戻ります。
    • 詳しくモード：ビンに入った玉の数・平均・標準偏差と、実測から求めた正規分布の曲線を表示します。
    • 机の上の小物：マグカップ・サイコロ・コイン・えんぴつ・鉢植え・本・玉の小皿は、ドラッグで動かしたり、クリック（タップ）してちょっとした動きを見たりできます。サイコロとコインは、確率の小ネタです。
    • 視点の高さ：背景を上下にドラッグする（スマホは2本指で上下になぞる）と、視点が上がったり下がったりします。
    • キーボード：ボードを選んだ状態で、スペースキーでひっくり返す、左右の矢印キーで傾ける、0キーでまっすぐに戻せます。

    観察のポイント

    流しはじめは、ガタガタで左右もそろわない形です。玉が増えるにつれて、真ん中が高い左右対称の山に近づき、 背板の赤い曲線にそろっていきます。何回流しても、1粒ずつの行き先は毎回ちがうのに、全体の形はほとんど同じになります。 「偶然の積み重ねから、きれいな法則が現れる」のがこのボードのおもしろいところです。 身長やテストの点数など、世の中の多くのデータが同じような山の形（正規分布）になることが知られています。

    よくある質問

    なぜ玉を落とすと山の形になるのですか？
    玉は釘に当たるたびに、左か右へほぼ半々の確率で進みます。1粒がどこに落ちるかは予測できませんが、真ん中のビンへ行く道すじ（左右がまざった組み合わせ）は、はしのビンへ行く道すじ（全部左・全部右など）よりずっと多いため、たくさん集まると真ん中が高い山になります。これは二項分布が正規分布に近づく「中心極限定理」の身近な例です。
    玉の動きは本当に計算しているのですか？
    はい。300粒の玉の1粒ずつについて、重力・釘・壁・玉どうしの衝突を計算しています。山の形になるように誘導はしていません。本物のゴルトンボードは2枚の板のあいだに玉をはさんだ薄い装置なので、玉の動きは平面（2D）で計算し、見た目を3Dで描いています。
    背板の赤い曲線は何ですか？
    このボードで300粒を流したときに積もる高さの目安として印刷した、正規分布の曲線です。流し終わった玉の山の頭が、だいたいこの線にそろいます。毎回ぴったりにはならず、少しずつ形が違うのも確率のおもしろいところです。「詳しく」モードでは、その回の実測から求めた曲線（青い点線）も重ねて表示できます。
    ボードを傾けるとどうなりますか？
    本体をつかんで少し傾けると、玉が左右どちらかに進みやすくなり、山の位置がずれます。左右が半々でないときの確率の分布を観察できます。正立・逆さの近くで手をはなすと、まっすぐにそろいます。
    授業や自由研究で使ってもいいですか？
    はい、ご自由にお使いください。学校の授業、塾、自由研究などでの利用を歓迎します。「詳しく」モードでは、ビンに入った玉の数・平均・標準偏差と、正規分布の曲線との重なりを確認できます。
    3Dが表示されません。
    このページはWebGLという仕組みで3Dを描いています。古いブラウザや、WebGLが切ってある端末では表示できません。ブラウザを最新にするか、別の端末でお試しください。