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遊び方と説明

モンティホール問題

机の上の、クイズ番組のミニチュアセット。3つの扉から1つ選ぶと、司会者のうさぎがハズレ（ヤギ）の扉を1つ開けます。ここで残りの扉に「変える」と「変えない」、どちらが当たりやすいでしょう？ 舞台をぐるっと回りこむと、裏側ものぞけます。机の上の小物も、さわったり動かしたりできます。

この回の結果

扉を選んで「変える／変えない」を決めると、ここに結果が出ます。

変えると得なのはなぜ？

最初に選んだ扉が当たりなのは、3回に1回だけ。残りの3回に2回は、当たりは「選ばなかった2枚」のどちらかにあります。 司会者はその2枚のうちハズレのほうを開けてくれるので、閉じたまま残った1枚が、3回に2回は当たりになります。

これまでの成績

作戦当たり回数勝率
変えた00−
変えない00−

数をこなすほど、変えた＝約67%・変えない＝約33%に近づきます。舞台の電光掲示板にも同じ成績が出ています。

100回の早回し

舞台が100回くり返します。毎回、同じ扉を選んだ「変える人」と「変えない人」の両方の結果を数えて、電光掲示板に勝率を出します。

まとめて試す（1万回まで）

コンピュータが「毎回変える人」と「毎回変えない人」を同時にシミュレーションします。回数を増やすほど、理論値の 2/3 と 1/3 に近づきます（大数の法則）。

ためした回数 0 回

結果の数字

作戦当たり勝率理論値
変える0−約66.7%
変えない0−約33.3%

理論値は「変える＝2/3」「変えない＝1/3」。1回ごとの勝ち負けは乱数で決まるので、回数が少ないうちはばらつきます。

扉が100枚あったら？

直感で納得しにくいときは、扉を100枚にして考えてみましょう。あなたが1枚選ぶと、答えを知っている司会者が、残り99枚のうちハズレを98枚開けます。最後まで開けられずに残った1枚と、あなたの1枚。どちらに車がありそうですか？

あなたの1枚が当たりなのは100回に1回。残りの99回は、当たりは司会者が「わざと開けなかった1枚」です。扉3枚のときも同じ理屈で、変えると3回に2回当たります。

TROPHIES 0 / 0

    トロフィーは、このブラウザに保存されます。

    どうして「変える」と約2/3で当たるの？

    カギは、司会者が答えを知っていて、わざとハズレの扉だけを開けることです。 あなたが最初に選んだ扉が当たりの確率は、はじめから最後まで3分の1のまま。 ということは、「選ばなかった2つの扉のどちらかに当たりがある確率」は3分の2です。 司会者がそのうちのハズレを1つ開けてくれるので、その3分の2は残った1つの扉にまるごと移ります。 だから、変えると約3分の2（約67%）で当たるのです。

    あなたが「扉1」を選んだときの全パターン
    当たり（🚗）の場所変えない（扉1のまま）変える（残った扉へ）
    扉1当たり 🚗ハズレ 🐐
    扉2ハズレ 🐐当たり 🚗
    扉3ハズレ 🐐当たり 🚗
    当たる確率3回のうち1回＝1/33回のうち2回＝2/3

    表のとおり、当たりがどこにあっても3パターンすべてを書き出すと、 「変えない」で当たるのは1パターン、「変える」で当たるのは2パターン。 つまり変えたほうが2倍当たりやすいのです。

    使い方

    遊び方

    • 扉を選ぶ：舞台の扉をクリック（タップ）するか、下の「1・2・3」のボタンで選びます。司会者のうさぎが、残りの扉のうちハズレ（🐐）を1つ開けます。
    • 変える／変えない：閉じたまま残った扉に「変える」か、最初の扉のまま「変えない」かを選ぶと、ドラムロールのあとで扉が開きます。成績は電光掲示板と下の表にたまっていきます。
    • 100回やってみる：舞台が早回しで100回くり返し、「変えた人」と「変えない人」の勝率が電光掲示板に並びます。2/3 と 1/3 に近づいていく様子を見てください。
    • 詳しくモード：1万回までの自動試行のグラフと、扉を100枚にした思考実験があります。
    • 視点を動かす：背景を横にドラッグすると回りこめます（裏側まで）。上下にドラッグすると視点の高さが変わり、机の下ものぞけます。ピンチやCtrl（⌘）＋ホイールで寄れます。背景をダブルクリック（ダブルタップ）すると元の視点に戻ります。
    • 机の上の小物：拍手ボタン・3つのカップ・ポップコーン・マグカップは、ドラッグで動かしたり、クリック（タップ）して反応を見たりできます。司会者のうさぎも、つつくと反応します。
    • キーボード：舞台を選んだ状態で、1・2・3キーで扉を選ぶ、Sキーで変える、Kキーで変えない、Enterキーで次の回です。

    実験のすすめ方（自由研究のヒント）

    1. まず舞台で、「変える」作戦だけを10回、「変えない」作戦だけを10回ためして、それぞれの勝った回数を記録します。
    2. つぎに「100回やってみる」と、詳しくモードの1000回・1万回で、勝率がどう変わるかを表に書きます。
    3. 回数が少ないと結果はばらつくのに、回数を増やすほど「変える＝約2/3」に近づくことをまとめます。これは確率の「大数の法則」とつながっています。
    4. 詳しくモードの「扉が100枚あったら？」で、なぜ変えると得なのかを自分の言葉で説明してみましょう。

    モンティホール問題とは？

    モンティホール問題は、アメリカのテレビのクイズ番組をもとにした、有名な確率の問題です。 「残り2つの扉なら五分五分」と直感で答えてしまう人がとても多く、数学者の間でも論争になったことで知られています。 でも、司会者が答えを知っていてわざとハズレを開けるというルールをよく考えると、変えたほうが2倍当たりやすいことがわかります。 直感と正しい答えがずれる、確率の面白さがつまった問題です。

    よくある質問

    本当に「変えた」ほうが当たりやすいの？ 直感では2分の1な気がします。
    はい、変えたほうが当たりやすくなります。多くの人は「残り2つの扉だから五分五分」と感じますが、それは間違いです。ポイントは、司会者が答えを知っていて、わざとハズレの扉だけを開けるところにあります。最初に選んだ扉が当たりの確率は3分の1のまま変わらず、残りの扉に3分の2の確率が集まります。納得できないときは、舞台の「100回やってみる」や、詳しくモードの「1万回」を試してみてください。
    当たりの場所は、本当にランダムに決めていますか？
    はい。毎回、3つの扉から同じ確率（3分の1ずつ）で当たりの場所を決めています。司会者は「あなたが選んだ扉」でも「当たり」でもない扉を開け、選んだ扉が当たりのときは、残り2つのハズレからランダムに1つを開けます。演出のために結果を変えることはしていません。1万回の試行で「変えた人」の勝率が約66.7%になることも確かめています。
    司会者がてきとうに扉を開けるときも、変えたほうが得ですか？
    いいえ。この問題が成り立つのは「司会者が答えを知っていて、必ずハズレの扉を開ける」という約束があるからです。もし司会者が中身を知らずにてきとうに開けて、たまたまハズレだった場合は、変えても変えなくても勝率は同じ（2分の1）になります。「司会者が知っている」という一点が、この問題の核心です。
    どうして車とヤギなのですか？
    この問題は、アメリカのテレビのクイズ番組がもとになっています。番組では、当たりの扉の後ろに新車、ハズレの扉の後ろにヤギがいました。番組の司会者の名前から「モンティホール問題」と呼ばれています。このページの舞台は、それを机の上の小さなセットにした、オリジナルのミニチュアです（司会者はうさぎの人形です）。
    自由研究や授業で使ってもいいですか？
    はい、ご自由にお使いください。舞台で何回か挑戦して勝ち負けを記録し、「100回やってみる」や詳しくモードの「1万回」と見比べると、そのまま確率の自由研究になります。中学・高校の数学（場合の数・確率）や、統計の授業でスクリーンに映すのにも向いています。インストール不要で、ブラウザだけで動きます。
    3Dが表示されません。
    このページはWebGLという仕組みで3Dを描いています。古いブラウザや、WebGLが切ってある端末では表示できません。ブラウザを最新にするか、別の端末でお試しください。下の「詳しく」モードの1万回の試行と扉100枚の実験は、3Dが使えなくても動きます。